Wohlordnung

Zum Beispiel ist die normale Anordnung der natürlichen Zahlen eine Wohlordnung, aber weder die normale Anordnung der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung.

In einer wohlgeordneten Menge S kann es keine unendlich lange absteigende Kette geben, d.h. keine unendliche Folge in S, so dass für alle i gilt: . Unter Verwendung des Auswahlaxioms kann man zeigen, dass diese Eigenschaft sogar äquivalent zur Wohlordungseigenschaft ist. Außerdem ist sie äquivalent zum Lemma von Zorn.

In einer wohlgeordneten Menge hat jedes Element a, außer dem möglicherweise vorhandenen größten Element, einen eindeutigen Nachfolger: Das kleinste Element der Teilmenge aller Elemente, die größer sind als a.

Jedoch muss nicht jedes Element einen Vorgänger haben. Betrachte zum Beispiel zwei Kopien der natürlichen Zahlen, die so geordnet sind, dass jedes Element der zweiten Kopie größer ist als jedes Element der ersten Kopie. Innerhalb jeder Kopie werde die übliche Anordnung gewählt. Dies ist eine wohlgeordnete Menge, sie wird üblicherweise mit bezeichnet. Obwohl hier jedes Element einen Nachfolger hat (es gibt also kein größtes Element), gibt es zwei Elemente ohne Vorgänger: die Null der ersten Kopie (das kleinste Element dieser Menge) und die Null der zweiten Kopie (jedes Element der ersten Kopie ist kleiner als dieses, aber diese Teilmenge hat kein größtes Element).

Wenn eine Menge wohlgeordnet ist, dann kann die Technik der transfiniten Induktion genutzt werden, um zu zeigen, dass eine gegebene Aussage für alle Elemente dieser Menge zutrifft. (Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall davon.)

Das Wohlordnungsprinzip, welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist, besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.

Siehe auch: Ordinalzahl, fundierte Menge

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