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Wavelet-Transformation

Die Wavelet-Transformation (engl. wavelet transform) ist eine Form der Frequenz-Transformation. Als Basisfunktionen verwendet man Wavelets. Der große Vorteil gegenüber der Fourier-Transformation ist die zeitliche Lokalität der Basisfunktionen (siehe auch Short Time Fourier-Transformation) und die geringe Komplexität (O(N) im Gegensatz zu O(N log N) bei der Fourier-Transformation, wo N die Datengröße ist).

Inhalt
1 Arten der Wavelet-Transformation

1.1 Kontinuierliche Wavelet-Transformation
1.2 Diskrete Wavelet-Transformation
1.3 Schnelle Wavelet-Transformation
1.4 Wavelet Packets
1.5 Komplexe Wavelet-Transformation

2 Wichtige Anwendungen
3 Geschichte
4

Arten der Wavelet-Transformation

Kontinuierliche Wavelet-Transformation

Erfolgt mittels eines verschiebungs-und skalierungsinvarianten Wavelet, so dass die Transformierte stetig wird. Eignet sich gut für Mensch/Maschine-Interfaces, da die Transformierte gut wahrnehmbar gemacht werden kann (Bilder). Nicht alle Wavelets eignen sich für diese Art der Transformation, insbesondere nicht die der DWT. Eine geeignete Klasse bilden die Morlet-Wavelets.

Diskrete Wavelet-Transformation

Die Diskrete Wavelet-Transformation oder DWT ist eine Wavelet-Transformation, die zeit- und frequenzdiskret durchgeführt wird. Es ist beweisbar, dass die Informationen trotzdem vollständig erhalten bleibt. Eine DWT lässt sich sehr effizient als eine Reihe von zeitdiskreten Filtern implementieren.

Schnelle Wavelet-Transformation

Die schnelle Wavelet-Transformation (engl. fast wavelet transform, FWT) ist ein Algorithmus, der mit Hilfe der Theorie der Multi Resolution Analysis die diskrete Wavelet-Transformation implementiert. Dabei wird das Bilden des inneren Produkts des Signals mit jedem Wavelet durch das sukzessive Zerteilen des Signals in Frequenzbänder ersetzt. Dadurch wird die Komplexität der Wavelet-Transformation von O(N log N) auf O(N) reduziert (vgl. Fast Fourier-Transformation).

Wavelet Packets

Komplexe Wavelet-Transformation

Wichtige Anwendungen

Bildkompression und Videokompression: Wavelet-Kompression
Lösung von Differentialgleichungen
Signalverarbeitung

Geschichte

Erstes Wavelet (Haar-Wavelet) von Alfred Haar (1909)
Seit den 1950-er Jahren: Jean Morlet und Alex Grossman
Seit den 1980-er Jahren: Yves Meyer, Stephane Mallat, Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Victor Wickerhauser

www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.ps Wavelets for Kids (Einführung)
www.cosy.sbg.ac.at/~uhl/wav.html Linksammlung zu Wavelets
www.wavelet.org/ Wavelet Digest Home Page

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.

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