Vektorraum

Der Vektorraum ist das fundamentale Konzept der Linearen Algebra; Anwendungen finden sich in fast allen Zweigen der Mathematik.

Prototyp eines Vektorraums ist der zwei- oder dreidimensionale, geometrisch anschauliche Euklidische Raum. In der Abstraktion zum Vektorraum erlaubt man beliebige, auch unendliche Dimensionen. Als Vektoren, also Elemente des Vektorraums, lässt man auch Objekte wie Funktionen oder Matrizen zu, die aus einem außergeometrischen Kontext stammen. Entscheidend ist nur, dass die Elemente eines Vektorraums den aus der Geometrie abstrahierten Regeln für die Addition und Streckung von Vektoren genügen.

Die Streckung eines Vektors erfolgt durch äußere Multiplikation mit einer skalaren Zahl; dementsprechend ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Zahlkörper. In den meisten Anwendungen legt man den Körper der reellen oder den der komplexen Zahlen zugrunde.

Inhalt

1 Formale Definition 2 Beispiele 2.1 Euklidische Ebene 2.2 Ein einfacher abstrakter Vektorraum 3 Eigenschaften 4 Spezielle Vektorräume 5 Untervektorraum / Teilvektorraum

Formale Definition

• eine Vektoraddition +:V×V→V und
• eine Skalarmultiplikation *:K×V→V

Für alle Vektoren u, v, w aus V und alle Skalaree a, b aus K gilt:

• (V,+) ist eine Abelsche Gruppe, das heißt,
  • v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit);
  • u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativität);
  • Es gibt einen Nullvektor 0 aus V, so dass 0 + v = v = v + 0;
  • Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v, so dass v + (-v) = 0;
  • v + w = w + v (Kommutativität);
• für die Skalarmultiplikation gilt:
  • a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V ist Bahnenraum unter K);
  • a * (b * v) = (a * b) * v (Assoziativität);
  • 1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral);
• und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation:
  • a * (v + w) = a * v + a * w;
  • (a + b) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen bezeichnet "+" die Addition in K, nicht die Vektoraddition).

• Die Skalarmultiplikation kann man genausogut durch · statt durch * bezeichnen; oft lässt man das Multiplikationszeichen auch ganz weg.
• Da K kommutativ ist, wird nicht zwischen Skalarmultiplikation von links oder von rechts unterschieden.
• Wenn man statt einem Körper K einen Ring zugrunde legt, erhält man ein Modul.

v = ( 2 , 3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

w = ( 3 ,-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

v + w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation:

a * v = 3 * ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ). Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v.

Spezielle Vektorräume

In vielen Vektorräumen ist es möglich, die Länge eines Vektors anzugeben, die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein normierter Raum. Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine Topologie.

Oft ist es sinnvoll und möglich, auch den Winkel zwischen Vektoren zu definieren. Das geschieht mit Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation!); der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbert-Raum.

Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, deren Elemente Elektronenwellenfunktionen sind.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum kann man duch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum, konstruieren.

Untervektorraum / Teilvektorraum

• Liegen Elemente x und y in V', so liegt auch (x + y) in V' (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
• Liegt das Element x in V', so liegt auch a * x in V', für alle a in K (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)

Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen zum Quadrat: . Ein möglicher Untervektorraum ist , da er die o.g. Bedingungen des Untervektorraums erfüllt. Anschaulich ist V eine Ebene, und M ist eine Gerade aus dieser Ebene, wobei eine Koordinate stets 0 ist.

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.