Infos Home | Impressum | Original Artikel & Autoren Liste

Transzendente Zahl

Inhalt

1 Definition
2 Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs
3 Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes
4 Beispiele für transzendente Zahlen
5 Verallgemeinerung
6
7

Definition

Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades

für n ≥ 1 mit ganzzahligen Koeffizienten a_k auftreten kann, wobei nicht alle a_k = 0 sein dürfen. Insbesondere wird a_n ≠ 0 verlangt. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.

Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs

Die Vorstellung der mathematischen Transzendenz kam im Laufe des 18. Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer Mathematiker wie Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) und Leonhard Euler auf, die zwar keine strenge Definition dieses Begriffs besaßen, sich aber trotzdem sicher waren, dass es solche mathematisch "schwer fassbaren" Zahlen geben müsse, von denen Euler schrieb sie "überschreiten [...] die Wirksamkeit algebraischer Methoden". 1748 behauptete Euler sogar in seinem Lehrbuch Introductio in Analysin Infinitorum, dass bei positivem rationalem a≠1 und natürlichem b, das keine Quadratzahl ist, die Zahl nicht nur nicht rational, sondern auch "nicht mehr irrational" sei. Tatsächlich wurde diese "Transzendenzvermutung" 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Mathematikers Aleksandr Gelfond in ihrer Richtigkeit bestätigt.

Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und war imstande, mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele zu liefern. In seiner Arbeit, in der er zeigen konnte, dass für jede rationale Approximation p/q einer algebraischen Zahl eine natürliche Zahl n existiert, so dass

stellte er die nach ihm benannte transzendente Liouville-Konstante

vor.

Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es "mehr" transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville sicherte Cantor aber seine Erkenntnisse durch einen indirekten Beweis. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs "mehr" war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist, während die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar (unendlich, aber nicht abzählbar) ist. Daraus folgt auch leicht, dass die Menge aller transzendenten Zahlen gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen (insbesondere: ebenfalls überabzählbar) ist.

Dieser Sachverhalt lässt sich mengensprachlich folgendermaßen ausdrücken:

Wenn die Menge der transzendenten Zahlen und die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, dann gilt:

Hierbei ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von .

Dieses kuriose Resultat, nämlich dass eine echte Teilmenge von die gleiche Mächtigkeit haben kann wie selbst, konnte Cantor durch die Benutzung von Bijektionen erklären.

Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes

Theorem: Ist z_m = p_m/q_m mit z_m → z für m → ∞ eine approximierende Folge der algebraischen Zahl z vom Grad n, dann gilt:

Sei z eine algebraische Zahl vom Grad n>1, die

erfüllt. Weiterhin sei z_m = p_m/q_m eine Folge von rationalen Zahlen mit z_m → z für m → ∞.

Dann erhalten wir

Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch z_m - z und benutzen die algebraische Identität

Es ergibt sich also

Da |z_m - z| < 1 für ausreichend großes m gilt, können wir folgende grobe (aber vollkommen ausreichende) Abschätzung machen:

M ist eine Konstante, da wir z als feste Zahl angenommen haben. Wenn wir jetzt m so groß wählen, dass in z_m = p_m/q_m der Nenner q_m>M ist, erhalten wir die Ungleichungskette

Wenn wir zur Abkürzung p für p_m und q für q_m schreiben, dann ist

Nun kann die Zahl z_m keine Nullstelle des Polynoms f sein, denn sonst könnte man (x - z_m) aus f(x) ausklammern. Daraus würde aber im Widerspruch zu unserer Annahme folgen, dass z einer Gleichung genügen würde, deren Grad < n wäre. Daher ist f(z_m) ≠ 0. Aber der Zähler von (1) ist eine ganze Zahl, also vom Betrag mindestens gleich 1. Somit ergibt sich durch Kombination von (1) und (2):

Beispiele für transzendente Zahlen

π = 3,1415926... Die Transzendenz von π, welche durch Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde, ist auch der Grund für die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises.
e = 2,71828..., die Eulersche Zahl, deren Transzendenz 1873 von Charles Hermite bewiesen werden konnte.
e^a für algebraisches a ≠ 0. Siehe auch Satz von Lindemann-Weierstrass.
. Allgemeiner konnte Aleksandr Gelfond 1934 zeigen: Ist 0 ≠ a ≠ 1, a algebraisch, b algebraisch und irrational, dann ist a^b eine transzendente Zahl. Dies ist eine Teillösung von Hilberts siebtem Problem. Ob der obige Satz auch für transzendente b wahr ist, blieb bisher ungeklärt.
sin(1)
ln(a) für rationales positives a ≠ 1
Γ(1/3) und Γ(1/4) (siehe Gammafunktion)
bezeichnet hierbei die Gaußklammerfunktion.

Verallgemeinerung

Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen L/K betrachtet man ebenfalls Elemente in L, die algebraisch oder transzendent über K sind. Siehe dazu Algebraisch.

P. Bundschuh Zahlentheorie. Heidelberg, Springer 1998, 4. Aufl., ISBN 3-540-43579-4.
Bietet einen einführenden Überblick zum Thema "transzendente Zahlen" an.
A. Baker Transcendental number theory. Cambridge, Cambridge University Press 1990 (Nachdruck), ISBN 052139791X.
Ein anspruchvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt.
A. Shidlovskii Transcendental numbers. Berlin, de Gruyter 1989, ISBN 3-11-011568-9.
Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert.
A. Jones, S. Morris, K. Pearson Abstract Algebra and Famous Impossibilities. New York, Springer 1994, 2. Aufl., ISBN 0-387-97661-2.
Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für π.

134.76.163.65/cgi-bin/pdfconvert_2.pl?action=converttopdf&docid=55903&imageset-id=2060&oldpage=122&GDZ_pagefrom=&GDZ_pageto=&GDZDIGBIB_PAGERANGE=55903-2060-121-124&pdfsession=1073083452 David Hilberts Beweis der Transzendenz von e und π (als PDF)

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.