Teilbarkeit
Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl a≠0 teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Man sagt dann auch "a ist Teiler von b", "b ist teilbar durch a", "b ist Vielfaches von a" und schreibt formal a | b.
Einige Mathematiker erlauben, dass die Zahl a auch 0 sein kann. Das einzige Vielfache der 0 ist dann die 0 selbst.
Ist a ungleich 1 und ungleich b, so nennt man a einen echten Teiler von b.
Eine natürliche Zahl ohne echten Teiler nennt man Primzahl. Eine Primzahl die ein Teiler einer Zahl ist, nennt man kurz Primteiler.
Beispiele
- 3 | 6
- 105 | 457380
- -2 | 8
- 1 | -17
- 5 | 0.
- Die Zahlen 1 und -1 sind ein Teiler jeder ganzen Zahl
- Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der 0) ist ein Teiler der 0.
- Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der 0) teilt sich selbst.
Eigenschaften der Teilbarkeit
- Gilt a | b für ganze Zahlen a und b, so gilt auch -a | b a | -b. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
- Gilt a | b und b | c, so folgt a | c.
- Für k≠0 gilt a | b ⇔ ka | kb.
- Gilt a | b und c | d, so gilt auch ac | bd.
Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine partiell geordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).
Teilbarkeitsregeln
Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen gibt es eine Reihe von Teilbarkeitsregeln.
Die folgenden basieren auf der üblichen Darstellung der Zahlen im Zehnersystem:
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0,2,4,6 oder 8).
- Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
- Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
- Für die Teilbarkeit durch 7 und 13 sind im Artikel Quersumme Regeln angegeben, die mit gewichteten Quersummen arbeiten.
- Eine Zahl ist durch 2n teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 2n teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 5n teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 5n teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 10n teilbar genau dann, wenn ihre letzten n Ziffern jeweils 0 sind.
Die folgenden Teilbarkeitsregeln beziehen sich auf andere Stellenwertsysteme:
- Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2n-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2n die Quersumme durch 2n-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2n ergibt sich aus der Binärdarstellung, indem die Bits rechts beginnend in Gruppen von n Bit eingeteilt werden. Zum Beispiel ist 91 durch 7 teilbar, weil 91 = 001 011 0112 = 1338 die Quersumme 1112 = 7 hat.
- Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
- Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-adische Zahl mit einer 0 endet.
Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).
Verallgemeinerung
Den Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:
Ist R ein kommutativer Ring und sind a&ne0, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a·n = b.
In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a | b ⇔ (a) ⊇ (b).
Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊇ (2), also ist 2 ein Teiler von 4.
Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen Ringen, die eine neutrales Element 1 enhalten und nullteilerfrei sind, diese Ringe heißen Integritätsringe.
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer 0 teilbar.
siehe auch: Modulo, Kongruenz, Teilersumme, Teilermenge
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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