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Symn besitzt n! ( n Fakultät ) Elemente. Für n > 2 ist Symn nicht kommutativ.
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1 Permutationen 2 Verkettung 3 Gruppeneigenschaften |
Permutationen
In der Gruppentheorie versteht man unter einer n-stelligen Permutation die bijektive Abbildung
einer Menge mit n Elementen auf sich selber. Da die "Namen" der Mengenelemente für die folgende Theorie
ohne Bedeutung sind, benutzt man als Mengenelemente in der Regel die Zahlen von 1 bis n als "Namen".
Beispiel:
Als Spezialfall kann man die Spalten so anordnen, dass in der oberen Zeile die Zahlen in aufsteigender Folge
dargestellt werden. Die obere Zeile enthält nun keine praktische Information mehr und kann deshalb in einer
verkürzten Darstellung einfach weggelassen werden.
Beispiel:
Beispiel:
Für jede n-stellige Permutation p gilt: p ◊ id = id ◊ p = p,
wobei id die identische Permutation ( 1 2 3 ... n ) bezeichnet.
Zu jeder n-stelligen Permutation p gibt es eine Permutation p-1
mit p ◊ p-1 = p-1 ◊ p = id.
p-1 lässt sich aus p generieren, indem obere und untere Zeile vertauscht werden.
Beispiel:
Für n>2 ist die symmetrische Gruppe Symn nicht kommutativ:
Matrixdarstellung
In der ausführlichen Darstellung einer Permutation schreibt man diese als zweizeilige Matrix,
in jeder Spalte der Matrix steht unter einer Zahl deren Funktionswert.
besagt, dass p die Zahl 1 auf die 3 abbildet, p (2) = 2, p (4) = 1 und p (3) = 4.Vektordarstellung
Die Reihenfolge, in der die einzelnen Spalten in der Matrix dargestellt werden ist ohne Bedeutung,
man kann beliebige Spalten der Darstellung vertauschen, ohne dabei die Permutation selbst zu verändern.Verkettung
Die Verkettung zweier n-stelliger Permutationen p2 ◊ p1 besagt, dass die Permutation p2 nach p1
ausgeführt wird, d.h. p2 wird auf das Ergebnis von p1 ausgeführt. Das Ergebnis der Verkettung ist erneut
eine n-stellige Permutation.
Zunächst bildet die "rechte" Permutation die 4 auf die 1 ab,
anschließend bildet die "linke" Permutation die 1 auf die 2 ab.
Die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.Rechenschema
Das Ergebnis einer Verkettung lässt sich u.a. nach folgendem Schema ermitteln:
Beispiel:Gruppeneigenschaften
Verkettungen sind generell assoziativ
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