Summe
Die Summe ist allgemein eine Menge von Elementen, die ein gemeinsames Ganzes ergeben. In der Mathematik ist eine Summe das Ergebnis einer Addition.
Dieser Artikel behandelt Summen im mathematischen Sinn.
Definition
Die Summe S einer Folge von beliebigen Zahlen a1, a2, ..., an ist gegeben durch
- S = a1 + a2 + ... + an.
Notation
Summen werden kurz mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma notiert.
Es wird entweder unter dem Sigma eine Zählvariable (oder Indexvariable) mit Startwert und oberhalb des Sigmas der Endwert angegeben, oder unterhalb des Sigmas eine oder mehrere Bedingungenen für die Zählvariable.
Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens die Buchstaben i, j und k verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.
Für besteht die Summe aus einem einzigen Summanden . Es hat sich als nützlich erwiesen, für folgende Konvention einzuführen:
- (leere Summe).
Unendliche Summen
Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel
-
mit unendlich vielen Summanden ungleich Null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden um den entsprechenden Grenzwert zu finden. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol für Unendlichkeit (∞).
Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die ∞ als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe
-
für Primzahlen p und der Ganzzahl-Funktion [x], zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich Null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor p in der Primfaktorzerlegung von n vorkommt.)
Einige nützliche Summen
- (Summe der ersten n natürlichen Zahlen)
- (arithmetische Reihe)
- (geometrische Reihe)
- (unendliche geometrische Reihe)
- (siehe Binomialkoeffizient)
- (siehe Binomischer Lehrsatz)
Siehe auch
Reihe (Mathematik)
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