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1 Beispiel: Gleichung mit vorgegebenen Nullstellen 2 Beispiel: Nullstellen einer vorgegebenen Gleichung 3 Verallgemeinerung |
Das (reelle oder komplexe) Polynom
Der Verallgemeinerung der ersten beiden Aussagen ist etwas komplizierter:
Für die Polynomgleichung
Beispiel: Gleichung mit vorgegebenen Nullstellen
Bestimme die quadratische Gleichung x² + px + q = 0 , für die es folgende Lösungen gibt:
Erster Lösungsweg:
Zweiter Lösungsweg:
Ergebnis:
Beispiel: Nullstellen einer vorgegebenen Gleichung
Ist die quadratische Gleichung x2 - 7x + 10 = 0 gegeben, dann muss für die Nullstellen x1, x2 gelten:
Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, die zu 7 aufaddiert werden können. Mit etwas Probieren findet man die Nullstellen 2 und 5. Als Probe berechnen wir (x - 2)·(x - 5) = x2 - 7x + 10.Verallgemeinerung
Die Gleichung
lässt sich leicht für Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades als Wurzelsatz von Vietá verallgemeinern:
mit den (komplexen) Nullstellen x1 bis xn lässt sich darstellen als:
mit den Lösungen x1 bis xn gilt:
wobei pk die Summe über alle Produkte von k Lösungen ist (wobei die Reihenfolge der Faktoren nicht unterschieden wird). Für ein Polynom vierten Grades
gilt also
Die Terme p1 bis pn nennt man auch elementarsymmetrische Terme in den Werten x1 bis xn; sie bleiben bei Vertauschen der Werte gleich, sind also symmetrisch.
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Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |