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Riemannsche Vermutung

Die Grundlage für die riemannsche Vermutung oder riemannsche Hypothese bildet die Zeta-Funktion, die als unendliche Reihe dargestellt werden kann:
,

wobei der Realteil ist. Für Elemente aus ihrem Definitionsbereich konvergiert die Reihe, die Funktion ist holomorph.

Die Zeta-Funktion ist auch als Integral darstellbar:

Die Riemann-Vermutung ist eine Aussage über die Verteilung der Nullstellen der Zeta-Funktion. Die Funktion besitzt 'triviale' Nullstellen der Form z = -2, z = -4, z = -6, ... Die Vermutung des Mathematikers Bernhard Riemann (aus dem Jahre 1859) besagt nun, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion den Realteil besitzen:

i ist hier die imaginäre Einheit.

Ursprünglich ging es bei der komplexen Zeta-Funktion um die Berechnung der Verteilung von Primzahlen, bzw. wie sehr deren tatsächliche Häufigkeit von der statistischen abweicht (vgl. Primzahlsatz). Falls die Vermutung wahr ist, hätte das aber auch große Auswirkungen auf andere Bereiche der Mathematik, z.B. auf den Umgang mit elliptischen Kurven oder die Goldbachsche Vermutung.

Die Riemannsche Vermutung wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. Da keine Lösung gefunden wurde, hat das "Clay Mathematics Institute" im Jahr 2000 dieses erneut zu den wichtigsten mathematischen Problemen erklärt und einen Preis von einer Million Dollar auf einen schlüssigen Beweis der Riemannschen Vermutung ausgesetzt. Mittlerweile wurde mit Hilfe von Grossrechnern gezeigt, dass die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die Riemannsche Vermutung erfüllen, sprich sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil 1/2.

Siehe auch