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Quotientenkörper

Jeder Integritätsring kann eingebettet werden in einen Körper. Der kleinste solche Körper ist der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Integritätsrings. Ist R ein Integritätsring, dann haben die Elemente des Quotientenkörpers die Form a/b mit a,b in R, b ungleich 0. Der Quotientenkörper wird manchmal mit Quot(R) bezeichnet.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Man kann den Quotientenkörper Quot(R) eines Integritätsrings R wie folgt konstruieren: Quot(R) ist die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren (z,n), wobei z,n aus R sind und n ungleich 0 ist. Dabei heißt (z,n) äquivalent zu (y,m), wenn zm=ny. Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse des Paars (z,n) mit [z/n] (dies ist dann der Bruch z/n). Die Einbettung von R in Quot(R) erfolgt durch a->[a/1]. Die Summe von [z/n] und [y/m] ist [zm+ny/nm] und das Produkt ist [zy/nm].

Der Quotientenkörper von R wird charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft: Ist f: R->K ein Ringhomomorphismus in einen Körper K, dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus g: Quot(R)->F, der f fortsetzt. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass Quot(R) der kleinste R enthaltende Körper ist, und dass es bis auf Isomorphie nur einen einzigen Quotientenkörper gibt.
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