Primideal
In der abstrakten Algebra ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.
Primideal eines kommutativen Ringes
Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und ein Ideal in R. Man nennt Primideal oder prim, wenn für alle gilt:
- Aus folgt oder .
Beispiele
- Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
- Die Menge der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Eigenschaften
Primideal eines nichtkommutativen Ringes
Sei R ein Ring mit 1 und ein (beidseitiges) Ideal in R. Man nennt Primideal oder prim, wenn für alle gilt:
- Wenn für alle gilt, dass liegt, dann ist oder .
Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen. Ein Ideal mit der Eigenschaft, das aus stets oder folgt, heißt vollständiges Primideal oder vollprimes Ideal (engl. completely prime ideal). Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
(Hab diese deutsche Bezeichnung von "completely prime ideal" nur auf einer Webseite gefunden, gibt's Literaturstellen dazu?)
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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