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Platonischer Körper

Seit Platon (ca. 428-347 v. Chr) sind die fünf einzig möglichen Polyeder (Vielflächer) bekannt, deren Begrenzungsflächen alle kongruente regelmäßige Vielecke sind, und deren Ecken alle die gleiche Zahl angrenzender Flächen/Kanten haben. Zusätzlich sind alle Kanten gleich lang, woraus sich ergibt, das die Flächen symmetrisch sind. Diese regelmäßigen Polyeder wurden in Platons Akademie intensiv untersucht. Darüber hinaus gibt es noch die 14 sogenannten semiregulären oder Archimedischen Körper. Sie bestehen allesamt auch aus regelmäßigen Vielecken, jedoch mit unterschiedlichen Eckenzahlen, und die einzelenen Polyederecken müssen durch Symmetrieabbildung aufeinander abgebildet werden können. Alle fünf Platonische Körper sind derartig gleichmässig das man sie in das Geometrische Zentrum von Sphären (Kugeln) verschiedener Grössen bringen kann, so das entweder alle Eckpunkte, alle Kanten Mittelpunkte oder alle Flächen Zentren mit der Kugeloberfläche übereinstimmen.

Inhalt
1 Warum die Zahl der Platonischen Körper beschränkt sein muss
2 Tetraeder
3 Hexader und Oktaeder

3.1 Hexaeder
3.2 Oktaeder

4 Dodekaeder und Ikosaeder

4.3 Dodekaeder
4.4 Ikosaeder

Warum die Zahl der Platonischen Körper beschränkt sein muss

Jede Ecke eines konvexen Polyeders zeigt "nach außen". Dies ist nur möglich, wenn die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360° ist -- denn bei genau 360° bildet sich lediglich eine Fläche und über 360° wären die Ecken konkav, also nach Innen gestülpt.

An jeder Ecke eines Polyeders treffen sich mindestens drei Flächen. Damit die Summe der Winkel kleiner als 360° bleibt, darf die Ecke eines platonischen Körpers also höchstens aus 3-5 Dreiecken, 3 Vierecken oder 3 Fünfecken bestehen. Andere Kombinationen wie etwa 6 Dreiecke, 4 Vierecke, oder 3 Sechsecke ergeben genau 360° und 4 Fünfecke überschreiten sie. Die 5 möglichen Kombinationen bilden die 5 Platonischen Körper.

Tetraeder

Der Tetraeder ist zu sich selbst dual

Tetraeder (4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecke als Flächen)

Hexader und Oktaeder

Hexaeder und Oktaeder stehen in Zusammenhang miteinander. Das zeigt sich darüber, das beide zu dem Kuboktaeder und dem zu dem Rhombendodekaeder, welches der Dual-Archimedische Körper zu dem Kuboktaeder ist, führen. Hexaeder und Oktaeder sind zueinander dual, das bedeutet,dass an der Stelle an der der Hexaeder seine Flächen hat, die Ecken des Oktaeder liegen, und umgekehrt. Daraus folgt auch die identische Anzahl der Kanten und die vertauschte Anzahl der Flächen und Ecken.

Hexaeder

Hexaeder oder Kubus oder Würfel (8 Ecken, 12 Kanten, 6 Quadrate als Flächen)

Der Hexaeder gehört auch zu den Prismen, mit einer ähnlichen Sonderstellung, wie es das Tetraeder zu den Pyramiden besitzt.
Der Hexaeder läßt sich so in zwei Teile schneiden, das die Schnittfläche ein gleichseitiges Sechseck ergibt. Vier solcher Sechsecke stecken in einem Hexaeder.

Oktaeder

Oktaeder (6 Ecken, 12 Kanten, 8 gleichseitige Dreiecke als Flächen)

Dodekaeder und Ikosaeder

Wie Hexaeder und Oktaeder stehen auch Dodekaeder und Ikosaeder in enger Beziehung zueinander. Ihre gemeinsamen Archimedischen Körper sind der Europafußball und der zu diesem duale Rhombentriakontaeder. Wie Hexaeder und Oktaeder sind auch Dodekaeder und Ikosaeder zueinander dual

Dodekaeder

Dodekaeder (20 Ecken, 30 Kanten, 12 regelmäßige Fünfecke als Flächen)

Ikosaeder

Ikosaeder (12 Ecken, 30 Kanten, 20 gleichseitige Dreiecke als Flächen)

Der Eulerschesche Polyedersatz stellt die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug:

Flächen + Ecken = Kanten + 2

(Diese Formel gilt für alle konvexen und viele andere Polyeder, nicht nur für die Platonischen Körper.)

Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur als Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich in Quasikristallen.

Die Körper wurden im antiken Griechenland den Elementen zugeordnet: Feuer: Tetraeder, Wasser: Ikosaeder, Luft: Oktaeder, Erde: Würfel, Geist / Quintessenz oder Äther: (Dodekaeder).

Jeder platonische Körper hat eine Innenkugel, die alle seine Flächen berührt, und eine Außenkugel, auf der alle seine Ecken liegen. Johannes Kepler gelang es 1596, die Bahnradien der damaligen sechs Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Bei der Suche nach solchen Harmonien entdeckte er auch zwei regelmäßige Sternkörper.

Eine eher moderne Anwendung finden die platonischen Körper als Würfel im Fantasy-Rollenspiel.

Die hohe Symmetrie der Platonischen Körper kommt auch in ihren Punktgruppen zum Ausdruck: siehe Tetraedergruppe, Ikosaedergruppe.

walter-fendt.de/m11d/platon.htm www.walter-fendt.de/m11d/platon.htm - Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets
saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html www.saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html
faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/ Platonische Körper aus Flechtstreifen

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.