Perkolation

=Statistische Physik/Mathematik= Die Perkolationstheorie beschreibt das Ausbilden von zusammenhängenden Gebieten bei zufallsbedingtem Besetzen von Gebieten. Beispiele sind zum Beispiel die Punktperkolation, oder die Bondperkolation.
Bei der Punktperkolation werden Gitterpunkte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besetzt, bei der Bondperkolation werden besetzte Punkte untereinander Verbunden. Man kann sich aber beliebige zufällig erzeugte Objekte (wie z.B. Tröpfchen) vorstellen, die dann untersucht werden.
Mit der Perkolationstheorie können Phänomene wie elektrische Leitfähigkeit von Legierungen, Ausbreitungen von Epidemien und Waldbränden oder Wachstumsmodelle beschrieben werden.
Historisch geht die Perkolationstheorie (engl.: percolation theorie) auf Flory und Stockmayer zurück, die sie während des zweiten Weltkriegs entwickelten, um Polymerisationsprozesse zu beschreiben. Der Polymerisationsprozess kommt durch das Aneinanderreihen von Molekülen zustande, die dadurch Makromoleküle bilden. Der Verbund von solchen Makromolekülen führt zu einem Netzwerk von Verbindungen, die sich durch das ganze System ziehen können.
In der Geologie beschreibt die Perkolation einfache Modelle zur Ausbreitung von Flüssigkeiten in porösem Gestein.
Allgemein läßt sich ein einfaches Modell für Perkolation wie folgt konstruieren:
Quadrate eines zweidimensionalen Quadratgitters werden durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung besetzt. Ob ein Feld besetzt wird oder leer bleibt ist unabhängig der Besetzung der Nachbarfelder; besetzte Felde ``ignorieren'' sozusagen die Nachbarfelder. Des Weiteren wird das Gitter als so groß angenommen, daß Randeffekte vernachlässigt werden können. Abhängig von der gegebenen Verteilung werden sich Gruppen auf dem Gitter bilden, das heißt, Felder in unmittelbarer Nachbarschaft werden besetzt sein. Diese Gruppen - als Cluster bezeichnet - werden umso größer sein, je größer die Wahrscheinlichkeit zur Besetzung eines Feldes ist. Die Perkolationstheorie beschäftigt sich nun mit Eigenschaften wie Größe oder Länge dieser Cluster.

Wenn die Wahrscheinlichkeit ist, daß ein Feld besetzt ist, bilden sich mit dem Ansteigen von p größere Cluster aus. Die Besetzungswahrscheinlichkeit ist als der Wert definiert, bei dem mindestens ein Cluster eine Größe erreicht, daß er sich durch das gesamte System erstreckt, also eine Ausdehnung auf dem Gitter von der rechten zur linken und von der oberen zur unteren Seite hat. Man sagt: Der Cluster perkoliert durch das System. Die Größeist die sogenannte Perkolationsschwelle.

Bond-Pekolation

die Verbindung geschlossen.  Diese Art der Perkolation lässt sich

Ein Cluster ist dann definiert als Gruppe von Gitterplätzen, die durch offene Kanäle verbunden sind. Auch hier ist wieder die Perkolationsschwelle und es gibt für einen Cluster, der durch das gesamte System perkoliert, während ein solcher Cluster bei

nicht existiert. Die Perkolationsschwelle ist bei der

|Gittertyp
|site
|bond

 |Quadratgitter
|0,696
|0,652

 |Dreieckgitter
|0,592
|0,5

|einfach kubisch
|0,311
|0,248

 |BCC
|0,246
|0,18

Gerichtete Perkolation

Wenn Wasser auf ein poröses Medium gegossen wird, stellt sich die Frage, ob das Medium durchdrungen werden kann, d.h. ob es einen Kanal von der Oberseite zur Unterseite des Mediums gibt, oder ob das Wasser vom Mediuim absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Wasser auf einen offenen Kanal trifft ist wie bei IP durch gegeben. Im Gegensatz zu der isotropen Perkolation existiert eine gegebenen Vorzugsrichtung. Wasser in porösem Gestein wie auch in der Kaffemaschine bewegt sich in die Richtung, die durch die Gravitation bestimmt wird. Die Perkolationsschwelle bei der gerichteten Perkolation ist größer als bei der isotropen Perkolation.

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