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wobei F eine beliebige Funktion ist.
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1 Beispiel |
Beispiel
Viele physikalische Prozesse hängen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab. Die Veränderung bezüglich jener ist jedoch nicht immer wichtig: die Bewegung eines Massenpunktes wird nur durch Ableitungen nach der Zeit (Geschwindigkeit und Beschleunigung) beschrieben. So eine Art von Gleichung nennt man gewöhnliche Differentialgleichung. Meistens reicht das jedoch nicht aus: Die Wellen, die durch einen Wassertropfen der auf eine Wasseroberfläche fällt, hängen sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) also auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist also eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig.
Das einfachste mögliche Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist folgendes: Eine Funktion u(x,t) möge von 2 Variablen abhängen (z. B. von Ort x und Zeit t). Die partielle Ableitung gibt an, wie stark sich die Funktion in der Zeit ändert, analog gibt die Änderung der Funktionswerte in der Ortsvariablen an. Falls diese beiden Änderungen gleich sind, ergibt sich folgende Differentialgleichung
Eine Lösung dieser Gleichung wäre mit einer beliebigen Funktion .
Weiter kann nach Linearität eingeteilt werden. Falls die unbekannte Funktion, sowie alle auftretenden Ableitungen
linear vorkommen, spricht man von einer linearen partiellen Differentialgleichung. Treten alle Ableitungen linear auf, aber die Funktion selbst nicht, spricht man von einer semilinearen Gleichung. Ansonsten spricht man von einer nichtlinearen PDE. Eine nichtlineare partielle Differentialgleichung kann man durch ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen, in der die höchsten Ableitungen linear auftauchen.
Der einfachste Fall ist natürlich der Fall der linearen Gleichungen. Aber im Gegensatz zu gewöhnliche Differentialgleichung sind selbst hier formelmäßige Lösungen nur in Ausnahmefällen möglich.
Man unterscheidet weiter zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung. Diese Klassifizierung ist allerdings nicht mehr eindeutig, es gibt also partielle Differentialgleichungen die einen gemischten Charakter haben.
Als Beispiel für die Einteilung in elliptisch,parabolisch und hyperbolisch sei eine partielle Differentialgleichung der
Ordnung 2 in 2 Variablen herangezogen:
Einteilung
Man kann PDEs nach verschiedenen Kriterien einteilen. Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt,
nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf.
Bei der Einteilung werden immer nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen (hier 2. Ordnung) in der Gleichung betrachtet:
Diese Unterscheidung kann man auch darauf zurückführen, ob die Matrix (a(x,y) b(x,y)/2; b(x,y)/2 c(x,y) ) positiv definit, singulär, oder negativ definit ist.Theorie
Wichtige Sätze
Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen
Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Elemente (FEM), der finiten Differenzen und der finiten Volumen.
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Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |