Normalgleichung
Die Normalgleichung (oder auch Normalengleichung) einer Ebene hat die Form
oder
wobei ein Normalenvektor der Ebene und der Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt. steht für das Skalarprodukt.
Jeder Punkt (x1, x2, x3), der die Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene, wobei gilt:
- .
Punkte, für die die Normalgleichung nicht erfüllt ist, liegen (bezogen auf die Richtung des Normalenvektors)
- vor der Ebene, wenn
- hinter der Ebene, wenn .
Erklärung
Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes P der Ebene lässt sich als Summe
darstellen, wobei senkrecht zur Ebene (also parallel zu ) und parallel zur Ebene (also senkrecht zu ) verläuft.
Dann ist
- ,
weil (als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren) stets 0 ist. Der Anteil ist aber für jeden in der Ebene liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Ebene konstant. Damit folgt die Normalform
oder
- .
Siehe auch: Hessesche Normalform, Geradengleichung
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