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Im folgenden seien gegebene Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.
Liegen von einem Merkmal n Beobachtungen vor, errechnet sich das Mittel der Stichprobe als
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert und wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.
Beispiel für das arithmetische Mittel von 50 und 100:
Für die Grundgesamtheit einer stetigen Zufallsvariablen berechnet sich der Mittelwert als
Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise mit den Klassenmitten bestimmen.
Das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt.
Das harmonische Mittel lässt sich auch indirekt berechnen als
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.
Beispiel für das geometrische Mittel zwischen 3 und 300:Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen Bezug auf eine Einheit definiert sind, z.B. von Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträgen (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit)
Beispiel für das harmonische Mittel zwischen 5 und 20:Verallgemeinerter Mittelwert (m. Mittel)
Mittels geeigneter Wahl des Parameters m können die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:
Allgemein gilt für -∞ ≤ s < t ≤ ∞:
Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt nach der Cauchy-Ungleichung stets:Mittelwert einer Funktion
Der Mittelwert der Funktion mit dem Gewicht istGewichtetes Mittel
Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:
Die Gewichte sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst.
Das Gewicht kann aus der Standardabweichung des Wertes berechnet werden.
Winsorisiertes oder gestutztes Mittel
Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.Siehe auch
Median, Erwartungswert, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung,
geometrisches Mittel und arithmetisches Mittel.
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