Maximales Ideal
Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.
Definition
Sei R ein kommutativer Ring und ein Ideal. Wir nennen maximal, oder maximales Ideal, wenn für alle Ideale gilt:
folgt:
Oder in anderen Worten: ist maximal, wenn es nicht Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals ist.
Bemerkungen
- Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus , das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
- Bildet man den Faktorring , so ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
- Jedes Primideal ist maximal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
Beispiele
- Im Ring der ganzen Zahlen ist jedes Primideal zugleich maximales Ideal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
- Sei der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen. Betrachte den Ringhomorphismus Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ist , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit , ein maximales Ideal.
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