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Lp-Raum

In der Mathematik sind Lp-Räume spezielle Banachräume. Das L in der Bezeichnung geht auf Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Das p in der Bezeichnung ist ein reeler Parameter: Für jedes Zahl 
ist ein Lp-Raum definiert.
Inhalt
1 Definition
2 Wichtige Eigenschaften
3 Verallgemeinerungen

Definition

Sei ein Massraum, ein Banachraum, . Die Menge heißt -Raum. Sie ist mit
ein Banachraum. Auch für kann man einen Lp-Raum definieren. Hierfür gibt es aber verschiedene Möglichkeiten, die aber für -endliche Maßräume alle zusammenfallen, am verbreitesten ist: dabei ist
Auch ist ein Banachraum,

Am häufigsten tritt der Fall auf, dass eine Teilmenge des euklidischen Raums ist, 

das Lebesgue-Maß und   die reelen Zahlen sind. In diesen Fall besteht der
Lp-Raum aus allen messbaren Funktion , für die das Lebesgue-Integral von 
endlich ist. Der Fall  ist ein Sonderfall, hier wird  die Norm nicht über
ein Integral definiert, sondern über das essentielle Supremum.

In einem weiteren wichtigen Fall sind die natürlichen Zahlen, und 

das normale Zählmaß. Hier ist der Lp-Raum der Raum aller Zahlenfolgen
, für die die Reihe konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit lp bezeichnet.

Wichtige Eigenschaften

Lp ist der Raum Lq, wobei q die Gleichung erfüllt. Genauer gilt: Für reflexive Banachräume und ist und der kanonische isometrische Isomorphismus ist durch gegeben.

Verallgemeinerungen

Es gibt auch die Verallgemeinerung der Lp-Räume für . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-norm.
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.



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