| Infos Home | Impressum | Original Artikel & Autoren Liste |
Allgemeine Betrachtungen zum Verständnis des Logizismus
Die Vertreter des Logizismus sehen in Mathematik und Logik keine verschiedenen Disziplinen, sondern nur unterschiedliche Stufen ein und derselben Wissenschaft. Nach ihrer Ansicht kann die Mathematik vollständig aus der reinen Logik heraus entwickelt werden, ohne dass bei der Realisierung dieses Prozesses zusätzliche Grundbegriffe oder
Annahmen nötig wären.
Die Vertreter des Logizismus betrachten dies als eine grundsätzliche philosophische Erkenntnis, da nur sie es ermögliche, die wahre Natur der Mathematik zu erkennen. Die Herausbildung der Konzeption des Logizismus kann zu einem gewissen Grade dadurch erklärt werden, dass in der Mathematik die Logik in der Tat eine größere Rolle spielt als in jeder anderen Wissenschaft und die Mathematik von jeher als Vorbild für logische Strenge galt.
Hinzu kommt, dass beim axiomatischen Aufbau einer mathematischen Theorie die Theoreme dieser Theorie auf rein logischem Wege aus den zugrunde gelegten Axiomen gewonnen werden.
Die Anfänge führen zu Leibniz
Die Idee einer Rückführung der Mathematik auf die Logik findet sich schon bei Leibniz, der die Ansicht vertrat, daß letztlich jede Wissenschaft auf allgemeinen Ideen und Prinzipien der Logik beruht oder genauer einer vom ihm als Logik geforderten scientia universalis; in der Mathematik sah er den Spezialfall der Anwendung dieser Logik auf mathematische Berechnungen.
Die Vertreter des Logizismus zu Beginn des 20. Jahrhunderts
Um die Jahrhundertwende zum 20. Jahrhundert bemühten sich hervorragende Mathematiker wie z.B. Gottlob Frege, Richard Dedekind, Giuseppe Peano um die Rückführung grundlegender mathematischer Begriffe, insbesondere des Zahlenbegriffes, auf logische Begriffe.
Seinen Höhepunkt erreichte der Logizismus mit dem Erscheinen des dreibändigen Werkes "Principia Mathematica" von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead, in dem sich die Autoren das Ziel setzten, ein System der symbolischen Logik auszuarbeiten, innerhalb dessen die gesamte Mathematik begründet werden kann; als spätere Vertrerter des Logizismus sind Rudolf Carnap und der Wiener Kreis der Neopositivisten (Positivismus und logischer Empirismus) sowie Willard Van Orman Quine zu nennen.
Das Problem der Antinomien
Um den Antinomien der Mengenlehre zu begegnen, die z.B. Frege zur Aufgabe seiner strengen logizistischen Position veranlassten und bei Dedekind ernste Zweifel an der Durchführbarkeit des Programms des Logizismus aufkommen ließen, entwickelte Russell und Whitehead die Typentheorie.
Ihre wesentlichen Grundideen waren
Der Aufbau der klassischen Mathematik bedient sich aber in mannigfacher Weise imprädikativer Definitionen; z.B. wird eine bestimmte reelle Zahl, etwa ein Häufungspunkt einer unendlich beschränkten Menge von reellen Zahlen oder der Grenzwert einer Cauchyfolge häufig durch einen Dedekindschen Schnitt in der Menge aller reellen Zahlen festgelegt.
Insbesondere dieses Axiom wurde von vielen als Beispiel für ein die Logik überschreitendes Axiom angesehen. Wegen der Problematik des Reduzibilitätsaxioms wurde von den meisten Anhängern des Logizismus die verzweigte Typentheorie weitgehend verlassen und auf die einfache Typentheorie zurückgegangen, zumal sich ergab, wie Ramsey gezeigt hat, dass bei strenger Handhabung der Syntax der einfachenTypentheorie auch die epistemologischen Antinomien vermieden werden, ohne dass man auf die für den Aufbau der Mathematik gebrauchten imprädikativen Definitionen verzichten muß.
Das betrifft im besonderen Maße das Unendlichkeitsaxiom, das die Existenz einer unendlichen Menge fordert, aber im gewissen Maße auch das Auswahlaxiom und selbst das Komprehensionsaxiom und das Extensionalitätsaxiom. Die von den Vertretern des Logizismus hierfür gegebenen Begründungen sind positivistischer oder pragmatischer Natur, was zu erheblichen philosophischen Problemen führt.
In erster Linie kann und muss man die einfache Typentheorie als ein spezielles axiomatisches System der allgemeinen Mengenlehre ansehen, und aus dieser Sicht besteht das Verdienst des Logizismus darin, das umfangreiche Begriffssystem der Mathematik auf ein System von wenigen mengentheoretischen Grundbegriffen zurückgeführt und die gesamte gegenwärtige Mathematik mit Hilfe eines relativ einfachen und einheitlichem Systems von Axiomen und Schlussregeln begründet zu haben.
Darüber hinaus trug der Logizismus wesentlich zur Entwicklung der mathematischen Logik, zur logischen Analyse vieler grundlegender Begriffe der Mathematik und der Logik sowie zur Klärung des Antinomieproblems bei.
siehe auch logischer EmpirismusZur Einführung des Reduzibilitätsaxioms durch Russel
Russell sah sich deshalb gezwungen, ad hoc sein umstrittenes Reduzibilitätsaxiom einzuführen, das die für den Aufbau der Mathematik unerwünschten Erhöhungen der Ordnung in gewissem Sinne rückgängig machte.Zum Verhältnis der Axiome unter dem Anspruch der reinen Logik
Aber auch für die von Russell und Whitehead angegebenen Axiome der einfachen Typentheorie ist es zum Teil sehr zweifelhaft, ob man sie als rein logische Axiome ansehen kann, was natürlich die schwerwiegende Frage aufwirft, was unter reiner Logik überhaupt zu verstehen ist.Die fehlende Widerspruchsfreiheit als schwerwiegendes Kriterium
Es muss schließlich vermerkt werden, dass andererseits aufgrund des Gödelschen Unvollständigkeissatzes die Typentheorie nicht ausreicht, die gesamte Mathematik zu begründen, dass z.B. die Widerspruchsfreiheit der Typentheorie nicht allein mit den Mitteln der Typentheorie bewiesen werden kann.Zu den fruchtbaren Wirkungen des Logizismus
Trotz seines vom philosphischen Standpunkt zweifelhaften Anliegens muss der Logizismus als eine äußerst fruchtbare Etappe in der Entwicklung der Logik und der Grundlagen der Mathematik eingeschätzt werden.
|
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |