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Lie-Algebra

Lie-Algebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Lineare Algebra
- Lie-Gruppen
Physik
- Eichtheorie

ist Spezialfall von

Vektorraum

Beispiele sind

R³ mit Kreuzprodukt
assoziative Algebra mit Kommutator
glatte Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit
spezielle lineare Lie-Algebra|sl(n,R)

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Inhalt
1 Definition
2 Beispiele

2.1 aus der Algebra
2.2 glatte Vektorfelder
2.3 Lie-Algebra einer Lie-Gruppe
2.4 glatte Funktionen mit der Poissonklammer
2.5 Homomorphismem
2.6 Unteralgebra
2.7 Ideal
2.8 Satz von Ado

3 Typen von Lie-Algebren

3.9 abelsche Lie-Algebra
3.10 nilpotente Lie-Algebra
3.11 Satz von Engels
3.12 auflösbare Lie-Algebra
3.13 Satz von Weyl
3.14 einfache Lie-Algebra
3.15 halb-einfache Lie-Algebra
3.16 Klassifikation
3.17 Zusammenhang zu Lie-Gruppen

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g über einem Körper F zusammen mit einer Verknüpfung [·, ·] : g × g -> g, welche Lie-Klammer genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:

sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten:

[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] und [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] für alle a, b aus F und alle x, y, z aus g;

sie genügt der Jacobi-Identität: gilt für alle .
für alle x aus g.

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie [x, y] = − [y, x] für alle x, y aus g, außer wenn F die Charakteristik 2 hat. Lie-Klammern sind im allgemeinen nicht assoziativ: [[x, y], z] muss nicht gleich [x, [y, z sein.

Beispiele

aus der Algebra

Der Euklidische Vektorraum R³ bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als Kreuzprodukt definiert.

Eine assoziative Algebra A mit einer Multiplikation * kann zu einer Lie-Algebra gemacht werden, indem man [x, y] = x * y − y * x definiert. Eine so definierte Lie-Klammer heißt Kommutator von x und y. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt.

Als konkretes Beispiel betrachten wir die Lie-Gruppe SL(n,R) aller n-mal-n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1. Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen n-mal-n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.

Allgemeine_lineare_Lie-Algebra

glatte Vektorfelder

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien X, Y zwei glatte Vektorfelder und f eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch [X, Y] f = (XY − YX) f.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Alternativ kann man sich den Vektorraum F, der der Lie-Algebra zugrunde liegt, als Tangentialraum am Einselement der zugehörigen Lie-Gruppe vorstellen. Die Multiplikation ist die Ableitung des Kommutators am Einselement, (a,b) |-> aba⁻¹b⁻¹.

glatte Funktionen mit der Poissonklammer

Die glatten Funktionen auf einer Symplektischen Mannigfaltigkeit, bilden mit der Poissonklammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Homomorphismem

Ein Homomorphismus φ : g -> h zwischen Lie-Algebren g und h über dem gleichen Körper F ist eine lineare Abbildung, die die Struktur der Lie-Klammer-Verknüpfung erhält: [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) für alle x und y aus g. Lie-Algebren bilden mit ihren Homomorphismen eine Kategorie.

Unteralgebra

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum h von g, der abgeschlossen bezüglich der Lie-Klammer ist, [x, y] ∈ h für alle x, y ∈ h. Eine Unteralgebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal

Ein Ideal einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum h von g, so dass [a, y] ∈ h für alle a ∈ g und y ∈ h. Alle Ideale sind Unteralgebren.

Wenn h ein Ideal von g ist, dann wird der Quotientenraum g/h durch die Definition [x + h, y + h] = [x, y] für alle x, y ∈ g zu einer Lie-Algebra.

Die Ideale sind die Kerne der Homomorphismen, und der Fundamentalsatz über Homomorphismen ist anwendbar.

Satz von Ado

Der Satz von Ado besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra Unteralgebra der GL(C,n) ist. Das heisst man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

abelsche Lie-Algebra">

Typen von Lie-Algebren
abelsche Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch Null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche, eher uninteressante, Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.