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Viele der hier erklärten Begriffe werden in einem allgemeineren Sinn auch in der Topologie verwendet.
Bei Sätzen der Funktionentheorie sind Formulierungen wie "Im Punkt z gilt..." üblich.
Gemeint ist: "Für die komplexe Zahl z gilt...".
Als abgeschlossene Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe mit ihrem kompletten Rand.
Als punktierte Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe ohne ihre Mittelpunkt.
Als alternative Bezeichnungen für den Begriff Kreisscheibe existieren Kreisumgebung und ε-Umgebung oder Epsilon-Umgebung. Gelegentlich wird ε durch einen anderen griechischen Kleinbuchstaben, zum Beispiel δ ersetzt.
Ein Punkt z0 wird als innerer Punkt einer Menge M bezeichnet, wenn es eine beliebig kleine
Kreisscheibe um z0 gibt, die ausschließlich Punkte enthält, die zur Menge M gehören.
Eine Teilmenge von C wird als abgeschlossen bezeichnet,
wenn sie alle ihrer Randpunkte enthält.
Anmerkung: in C existieren genau zwei Teilmengen, die keine Randpunkte besitzen
und die damit sowohl offen als auch abgeschlossen sind: C selbst und die leere Menge.
Anschaulich lassen sich Gebiete in der komplexen Zahlenebene als Flächen
ohne ihren Rand / ihre Ränder darstellen.
Als abgeschlossenes Gebiet wird die Vereinigungsmenge eines Gebietes und dessen Rand / Ränder bezeichnet.
Als mehrfach zusammenhängend wird M bezeichnet, wenn die "Verformung" nicht innerhalb
von M durchgeführt werden kann, im unteren Bild steht der Verformung ein "Loch" in der Menge
als Hinternis entgegen.
Anschaulich lassen sich ( n + 1 )-zusammenhängende Gebiete in der komplexen Zahlenebene als
randlose Flächen mit n Löchern darstellen.
Eine Teilmenge von C wird als kompakt bezeichnet, wenn sie sowohl beschränkt
als auch abgeschlossen ist.
Zahlenebene und Punkte
Bei der komplexen Zahlenebene handelt es sich um eine Darstellung der komplexen Zahlen,
die einzelnen Zahlen werden dabei als Punkte dieser Ebene dargestellt.
Dabei werden Real- und Imaginäranteil einer Zahl zur x- und y-Koordinate ihres Bildpunktes in der Ebene.Kreisscheiben
Als (offene) Kreisscheibe um einen Punkt z0 wird das Innere eines Kreises um z0 in der Zahlenebene bezeichnet, der Kreisrand selbst wird nicht zur offenen Scheibe hinzugerechnet:
Definition: offene Kreisscheibe um z0 mit Radius ε := { z | Betrag ( z - z0 ) < ε }Randpunkte und innere Punkte
Ein Punkt z0 wird als Randpunkt einer Menge M bezeichnet, wenn in jeder Kreisscheibe
um z0 sowohl Punkte, die zur Menge M gehören als auch Punkte, die nicht zur Menge M gehören, liegen.
Diese Definition besagt nichts darüber aus, ob z0 selbst zur Menge M gehört.
Die Gesamtheit aller Randpunkte wird als der Rand bezeichnet.
Diese Definition schließt ein, dass z0 selbst zur Menge M gehören muss.
Die Gesamtheit aller inneren Punkte wird als das Innere bezeichnet.offen und abgeschlossen
Eine Teilmenge der komplexen Zahlen C wird als offen bezeichnet,
wenn sie keinen einzigen ihrer Randpunkte enthält.zusammenhängend
Eine Teilmenge von C wird als zusammenhängend bezeichnet,
wenn sich zwei beliebige Punkte der Menge durch einen Streckenzug, der komplett
innerhalb der Menge verläuft, verbinden lassen.Gebiete
Eine Teilmenge M von C wird als Gebiet bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
Tatsächlich lässt sich aus den ersten beiden Bedingungen bereits ableiten,
dass ein Gebiet unendlich viele Punkte besitzt.einfach und mehrfach zusammenhängend
beschränkt und kompakt
Eine Teilmenge von C wird als beschränkt bezeichnet, wenn alle ihre Punkte in einer Kreisscheibe
um den Nullpunkt liegen, das heißt kein Punkt strebt gegen unendlich.sonstige Begriffe
Bereich
Der Begriff Bereich wird häufig in der mathematischen Literatur zur Funktionentheorie benutzt,
jedoch leider nicht einheitlich:
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Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |