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Die Kettenregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung zur Ermittlung der Ableitung.
Sie findet Anwendung, wenn die gegebene Funktion sich aus einer Verkettung von Teilfunktionen zusammensetzt. Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich also die Steigung einer Funktion bestimmen, deren Bestandteile beliebig ineinander verschachtelt sind.
Die Ableitung (oder auch den Differenzialquotienten) der verketteten Funktion erhält man, indem man jede Verkettungsebene für sich ableitet und diese Ergebnisse miteinander multipliziert.
Die einfachste Verkettung besteht aus einer inneren Funktion v mit einer äußeren Funktion u:
Dann ist
Kompliziertere Verkettungen treten auf, wenn die Schachtelung der Verkettung mehr als zwei 'Ebenen' umfasst.
In diesem Falle wird die Kettenregel rekursiv (zurückführend) angewendet.Erklärung
Von x zum Funktionswert u(v(x)) kann man gelangen, indem man zuerst v(x) und dann u(v) berechnet. Die Funktion v(x) hat die Steigung v'(x) (=innere Ableitung). Die Funktion u(v) hat die Steigung u'(v) (=äußere Ableitung). Die Steigung von u(v(x)) ist u'(x).
Für die Steigungsdreiecke gilt (siehe Abbildung)
Bildet man nun den limes Δx gegen 0, so entstehen die Ableitungsfunktionen und es wird
wie behauptet.Beispiel
Sei eine verkettete Funktion.
Weiter ist
Nach der Kettenregel ist also die erste Ableitung von :
Fazit und einfache Merkregel: Besteht eine Funktion aus zwei oder mehreren Klammerebenen, dann leitet man zunächst die äußerste Funktion ab, das Klammerinnere schreibt man unverändert ab, dann macht man ein Malzeichen und schreibt dann erst die Ableitung der inneren Funktion dahinter. Bei mehr als zwei Verschachtelungen wiederholt sich diese Vorgehensweise mehrfach.
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