Homomorphiesatz

Die minimale algebraische Struktur, für die es einen Homomorphiesatz gibt, ist die Gruppe.

Wir betrachten einen Gruppen-Homomorphismus f von einer Gruppe G in eine andere Gruppe H. Der Homomorphismus hat einen Kern ker(f), der ein Normalteiler von G ist. Der größeren Allgemeinheit halber legen wir unserem Satz nicht ker(f) selbst zugrunde, sondern einen Normalteiler K von G, der, statt mit ker(f) überzueinstimmen, auch eine Teilmenge sein darf: K⊆ker(f).

Der Normalteiler K induziert die Faktorgruppe G/K, also die Menge der Nebenklassen aK mit a∈G. Die kanonische Projektion φ:G→G/K ist ein surjektiver Gruppen-Homomorphismus, der jedem Element a∈G die zugehörige Nebenklasse aK zuordnet.

Unter diesen Voraussetzungen besagt der Homomorphiesatz: es existiert eindeutig ein Gruppen-Homomorphismus h: G/K→H mit f = h φ.

Der Zusammenhang wird durch das folgende kommutative Diagramm veranschaulicht:

Erläuterung: Warum ist diese Aussage nicht völlig trivial ? Ergibt sich aus der Festlegung f = h φ nicht unmittelbar die Existenz und Eindeutigkeit von h ? Nein, denn φ ist nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Wir können h deshalb nicht einfach als fφ^-1 bestimmen.

Beweis: (1) Jedes Element von G/K können wir aK schreiben, mit a∈G. Dann gilt: h(aK) = h(φ(a)) = f(a). Also ordnet h jedem Urbild ein Abbild zu.

(2) Wir erklären h durch die Gleichung h(aK) = f(a) und untersuchen, wie h auf eine alternative Darstellung des Urbildes wirkt, bK=aK. Es gilt b^-1a∈K⊆ker(f), somit f(b^-1a)=1 (neutrales Element von H). Weil f ein Gruppen-Homomorphismus ist, folgt f(a)=f(b). Also ordnet h jedem Urbild, unabhängig von dessen Darstellung, nur ein eindeutiges Abbild zu.

Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit von h gezeigt. Zu zeigen, dass h ein Gruppen-Homomorphismus ist, ist unschwierig und nicht weiter lehrreich.

Aus dem Homomorphiesatz folgen die drei Isomorphiesätze.

Siehe auch: Gruppentheorie-Glossar.

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