Geometrische Reihe
Eine Geometrische Reihe ist eine Summe von Ausdrücken, wobei zwei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe Verhältnis haben.
Zum Beispiel ist
-
eine geometrische Reihe mit einem Verhältnis von 2.
Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der Formel
-
berechnet werden. Diese ist für alle natürlichen Zahlen m ≤ n und alle Zahlen x≠ 1 gültig (allgemeiner: für alle Elemente x in einem Ring, so dass x - 1 invertierbar ist). Die Formel kann überprüft werden, in dem man beide Seiten mit x - 1 multipliziert und dann vereinfacht.
Mit Hilfe der Formel kann obenstehende Summe berechnet werden:
-
Die Formel ist auch für die Berechnungen von Zinszahlungen (vgl. Zinseszins) sinnvoll: Angenommen, man zahlt jährlich 2.000 € bei der Bank ein und die Zinsen liegen bei 5%. Wieviel Geld hat man nach 6 Jahren?
- 2.000 · 1,056 + 2.000 · 1,055 + 2.000 · 1,054 + 2.000 · 1,053 + 2.000 · 1,052 + 2.000 · 1,051
- = 2.000 · (1,057 - 1,05)/(1,05 - 1)
- = 14.284,02
Eine unendliche geometrische Reihe ist eine unendliche Reihe, wobei zwei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe Verhältnis haben. So eine Reihe konvergiert genau dann, wenn das Verhältnis kleiner als Eins ist; der Wert kann dann mit der Formel
berechnet werden. Diese ist gültig für |x| < 1; das folgt aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen, wenn man den Grenzwert für n→∞ bildet.
Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von x kleiner als 1 ist.
weitere nützliche Formel:
-
Diese Formel ist ebenfalls nur für |x| < 1 gültig.
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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