Funktion (Mathematik)

In der Schulmathematik lernt man beispielsweise einfache Funktionen kennen wie: y = 2x + 3 oder y = x².

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Inhalt

1 Definition 1.1 Schreibweisen und Sprechweisen 2 Beispiele 3 Wichtige Begriffe 4 Eigenschaften von Funktionen 5 Funktionen die Strukturen beachten 6 Reelle Funktionen 7 Weitere Funktionen 8 Webinks

Definition

Schreibweisen und Sprechweisen

Die Nachfolger-Funktion:

Wichtige Begriffe

• Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
• Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
• Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }.
• Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
• Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
• Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
• Ein Fixpunkt ist ein x im Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt. Entsprechend ist eine Fixgerade eine Gerade g, deren Bild unter der Funktion f wieder g ist.

Eigenschaften von Funktionen

• Injektivität
• Surjektivität
• Bijektivität (sowohl injektiv als auch surjektiv)
• Idempotenz

• Monotonie
• Stetigkeit
• Differenzierbarkeit
• glatte Funktion
• Integrierbarkeit
• holomorphe Funktion
• Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

1. homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
2. allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
3. Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
4. Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
5. Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
6. Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
7. Transzendente Funktion:
   1. Exponentialfunktion
   2. Logarithmus
   3. trigonometrische Funktionen
   4. Hyperbelfunktionen
   5. Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
   6. Logistische Funktion
   7. Gaußsche Glockenkurve
8. Funktion die nicht analytisch sind:
   1. Betragsfunktion
   2. Maximumfunktion und Minimumfunktion
   3. Gaußsche Ganzzahlfunktion
9. konvexe Funktion

• Charakteristische Funktion
• Primitiv-rekursive Funktion
• Ackermannfunktion
• Phifunktion
• Zahlentheoretische Funktion
• Deltafunktion, Sprungfunktion
• Elliptische Funktion
• Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion

• arndt.bruenner/mathe/java/plotter.htmarndt.bruenner/mathe/java/plotter.htm
  • Schöner online Funktionsplotter als Java-Applet

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.

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