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Erfunden wurde die Differenzialrechnung (unabhängig von einander) von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.
Leibniz ging von einem geometrischen Problem aus, dem Tangentenproblem: Er wollte eine Gerade an eine Kurve legen, die diese in einer kleinen Umgebung möglichst gut annähert.
Newtons Ansatzpunkt war das physikalische Problem der Momentangeschwindigkeit: Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung zu einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung gefunden werden, die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst gut annähert.
Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf das Suchen der Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt einer stetigen Funktion.
Differenzierbarkeit
Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x0 falls der Grenzwert
existiert. Man nennt ihn den Differentialquotienten. Eine Funktion ist genau dann differenzierbar wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.
In einfachen Worten bedeutet das, dass f genau dann differenzierbar ist wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.Differenzialquotient
Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten des Graphensens einer Funktion f(x) (Sekante) ist der Differenzenquotient
Lässt man nun die beiden Punkte immer näher zusammen wandern und bildet den Grenzwert, so wird die Sekante zur Tangente und man erhält den Differenzialquotienten:
Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar.
Dann ist
Wenn x>0 gilt f(x)= x und damit
Sieht man den Graph von f, so könnte man sagen, dass f genau dann differenzierbar ist, wenn er keine "Knicke" enthält.
Zum Beispiel ist die Funktion
in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung
ist im Punkt 0 nicht stetig.
Eine unendlich oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.
Die zweite Ableitung f ''(x) beschreibt die Steigung von f '(x), also die Änderung der Steigung von f(x). Ist f ''(x)>0, so ändert sich f '(x) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein Tiefpunkt von f(x) vor. Im Falle f ''(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet eine Hochpunkt von f(x). Im Beispiel ist f ''(1) = -2 und f ''(3) = 2.
Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch f '(x)=0 und f ''(x)=0 werden, ohne dass ein Wendepunkt auftritt, wie im Beispiel
Erst wenn f ''' nicht 0 ist, ist ein Wendepunkt erwiesen.
Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Untersuchungen, siehe Kurvendiskussion.
Wenn man zum Beispiel die Funktion der zurückgelegten Strecke (Position) nach der Zeit ableitet erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man diese nach der Zeit ab, erhält man die Beschleunigung. Die Ableitungen physikalischer Größen nach der Zeit werden meist durch einen Punkt über dem Symbol anstelle des Hochkommas gekennzeichnet.
Siehe auch: Differentialgleichung, IntegralrechnungAbleitungsfunktion
Die Funktion der Differenzialquotienten an allen Stellen von f nennt man die Ableitungsfunktion f ' - oder kurz Ableitung - von f. f ' (x0) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x0. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle x0.Beispiele
Beispiel für das Bestimmen einer Ableitungsfunktion
Gesucht ist die Ableitung der Funktion mit der Gleichung
und daherBeispiel für eine nicht differenzierbare Funktion
f(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, denn es gilt:
und wenn x < 0 gilt f(x) = -x und damit
Da der linkseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen existiert kein allgemeiner Grenzwert und f ist nicht differenzierbar.Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion
Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein.Ableitungsregeln
Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:
Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.
(Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1. Mediane und erhält damit P* auf f -1, so ist die Steigung von f -1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)Mehrfache Ableitungen, Glattheit
Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden.Anwendung bei der Kurvendiskussion
Bei der Untersuchung eines Funktionsgraphen auf seine Eigenschaften (Kurvendiskussion) spielen die Ableitungsfunktionen eine entscheidende Rolle, da sie die Steigung des Graphen beschreiben. Dies sei am Beispiel der Funktion mit der Gleichung
erläutert. Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x), f '(x) und f ''(x).Waagerechte Tangenten
Eine Steigung 0, d.h. f '(x)=0, kennzeichnet eine waagerechte Tangente bei f(x). Dies kann einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt bedeuten. Im Beispiel ist
f '(x) wird 0 bei x=1 und x=3.Wendepunkte
Ist f ''(x)=0, so hat f '(x) hier eine waagerechte Tangente und die Steigung von f(x) ändert sich an dieser Stelle nicht. Wenn f '(x) hier einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt (also f '''(x) hier nicht 0 ist), dann bedeutet das einen Wendepunkt von f(x). Im Beispiel ist
und wird 0 bei x=2. Zugleich ist
und daher ungleich 0.Sattelpunkte
Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt. Für ihn gilt demnach f '(x)=0 und f ''(x)=0, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung
an der Stelle x=0.Ableitungen nach der Zeit
Die wichtigste Anwendung der Analysis in der Physik ist die Ableitung nach der Zeit: die Änderungsrate.Partielle Ableitungen
Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also eine -Funktion) zu Grunde. Hingegen können Funktionen in mehreren Variablen (also -Funktionen) nach jeder unabhängigen Variable abgeleitet werden. So lassen sich für eine Funktion in Variablen insgesamt so genannte partielle Ableitungen errechnen:
Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Nablavektor anschreiben.Wichtige Sätze
Satz von Rolle
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
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Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |