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Cramersche Regel

Die Cramersche Regel ist ein mathematisches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit n Gleichungen und n Unbekannten, deren Lösung eindeutig ist. Sie wurde 1750 von Gabriel Cramer aufgestellt.

Die Cramersche Regel ist aufgrund der erforderlichen meist aufwändigen Berechnung von Determinanten eher von theoretischem Interesse.

Inhalt
1 Definition
2 Beispiel
3 siehe auch
4

Definition

Sei A eine invertierbare n×n-Matrix und Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten. Sei weiter Ai die Matrix, die aus A entsteht durch die Ersetzung der i-ten Spalte durch b.

Dann ist die i-te Komponente xi des Lösungsvektors x eindeutig bestimmt durch

xi = det(A)-1 det(Ai).

Beispiel

Sei folgendes Gleichungssystem über R gegeben:
x1 + 2x2 = 3
4x1 + 5x2 = 6
Dann ist die zugehörige Matrix
und es ist
Da für die Determinante von A gilt: det(A) = -3 ≠ 0, ist A invertierbar, und es ist det(A)-1 = - 1/3.

Weiter gilt:

,
und es ist det(A1) = 3 und det(A2) = -6.

Mit der Cramerschen Regel gilt dann:

x1 = det(A)-1 det(A1) = -1/3 ⋅ 3 = -1
x2 = det(A)-1 det(A2) = -1/3 ⋅ (-6) = 2

siehe auch

Gaußsches Eliminationsverfahren


Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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