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Definition: Charakteristik eines Rings
In der Algebra gibt die Charakteristik eines Ringes R mit 1 an, wie oft man das Einselement 1R aufaddieren muss, damit die Summe gleich dem Nullelement 0R wird.
1R + 1R + ... + 1R = 0R \\________________/ | n mal ==> char(R) = nHat keine endliche Summe von Einsen den Wert 0R, dann sagt man, der Ring hat die Charakteristik 0. Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von R ist char(R).
Die Charakteristik des Ringes R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R einen Teilring hat, der isomorph zum Restklassenring Z/nZ ist. (Beachte, dass Z/0Z=Z ist.)
Sind R und S Ringe mit 1 und gibt es einen Ringhomomorphismus R -> S, dann ist die Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R.
Für einen Integritätsring (und insbesondere einen Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl.
Jeder geordnete Körper (z.B. die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen) hat die Charakteristik 0.
Ist R ein Teilring mit 1 von S, dann haben R und S dieselbe Charakteristik.
Zum Beispiel ist für ein irreduzibles Polynom g über dem Restklassenkörper Z/pZ vom Grad n der Faktorring (Z/pZ)[X]/(g) ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper GF(pn)), der Z/pZ enthält und also die Charakteristik p hat.
Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.
Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich.
Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik. Zum Beispiel den Körper der rationalen Funktionen über Z/pZ. Ein anderes Beispiel ist der algebraische Abschluss von Z/pZ.
Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper Z/pZ und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p ist.
Daraus folgt, dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pn)m ist selbst eine p-Potenz).
Ist R ein Integritätsring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt (x+y)p = xp + yp für alle x, y in R. Die Abbildung f(x) = xp definiert einen injektiven Ringhomomorphismus R->R. Er heißt Frobenius-Homomorphismus.Beispiele und Eigenschaften
Der Restklassenring Z/nZ hat die Charakteristik n.
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