Charakter (Mathematik)
Ein Charakter ist in der Mathematik eine im allgemeinen komplexe Zahl, durch die in zusammenfassender Weise wichtige Eigenschaften eines abstrakteren algebraischen Gebildes ausgedrückt werden. Davon zu unterscheiden ist der Begriff Charakteristik.
Der Charakter einer Gruppe, auch multiplikativer Charakter genannt, ist ein Gruppen-Homomorphismus σ von der Gruppe G in die multiplikative Gruppe eines Körpers K (in den meisten Fällen der Körper der komplexen Zahlen). In anderen Worten: ein Charakter σ von G in K ist eine Funktion G → K\\{0} mit der Eigenschaft
- σ(xy) = σ(x)σ(y).
Die Charaktere von G bilden mit der durch
- σ&tau(x) := σ(x)τ(x)
erklärten Gruppenverknüpfung eine abelsche Gruppe: die Charakterengruppe G´ von G in K.
- Spezialfälle: Ein multiplikativer Charakter mit dem Betrag 1 heißt unitärer Charakter. Der Dirichlet-Charakter kann als ein spezieller multiplikativer Charakter angesehen werden.
- Wichtige Eigenschaften: Der multiplikative Charakter einer Gruppe G ist eine Darstellung von G.
In der Darstellungstheorie sind die Charaktere die Spuren einer absolut irreduziblen Darstellung; die Spur einer Darstellung ist eine Funktion, die jedem dargestellten Element die Spur der darstellenden Matrix zuordnet.
Ferner gibt es den Begriff Charakter in der Zahlentheorie.
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