Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarz-Ungleichung oder Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen verwendet wird, z.B. Lineare Algebra (Vektorenen), Analysis (unendliche Reihen) und Integration von Produkten. Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums sind, dann gilt:
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Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.
Eine wichtige Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das Vektor-Produkt eine stetige Funktion ist.
Auf euklidische Räume Rn angewandt, erhält man:
Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:
Die beiden letzten Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.
siehe auch: Dreiecksungleichung.
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