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Cauchy-Folge

Eine Cauchy-Folge ist ein mathematischer Begriff aus der Analysis.

In der Mathematik ist eine Folge eine durch natürliche Zahlen indizierbare Teilmenge einer Menge (siehe Mengenlehre). Man schreibt eine Folge als .

Eine Cauchy-Folge ist eine spezielle Folge. Sie kann nur definiert werden, wenn auf der Ausgangsmenge eine Metrik vorhanden ist. Ein solches Paar wird als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen (mit einer beliebigen Norm versehen) ist zum Beispiel ein metrischer Raum

Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem reellen ein aus den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle folgendes Konvergenzkriterium gilt:

Ein vollständiger Raum ist dadurch definiert, dass jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert. Das heißt, sie besitzt einen Grenzwert, der Element des Raumes ist. Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen, nur die Umkehrung gilt nicht immer. Ein Beispiel für einen vollständigen Raum ist die Menge der reellen Zahlen mit dem Betrag als Metrik.

Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.

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