| Infos Home | Impressum | Original Artikel & Autoren Liste |
Die beiden Potenzenen 8 = 23 und 9 = 32 unterscheiden sich um genau 1. Catalan behauptete, dass es keine anderen Zahlen mit dieser Eigenschaft mehr gibt, also:
Es gibt keine weiteren natürlichen Zahlen a,m,b,n>1 mit der Eigenschaft am = bn + 1.
Der Beweis für diese Behauptung gelang im April 2002 dem rumänischen Mathematiker Dr. Preda Mihailescu an der Universität in Paderborn.
Ein ähnliches Problem ist der Große Fermatsche Satz.
| Inhalt |
|
1 Historie 2 3 |
Leonhard Euler (1707-1783) zeigte, dass es für a2 - b3 = 1 nur die Lösung a = 3 und b = 2 gibt.
Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen.
Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d.h. dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.
So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.
1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung:
Entweder m und n erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen ("class number condition") oder m und n sind doppelte Wieferich Primzahlen, d.h. sie genügen der Bedingung
Historie
Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Ca. 1320 bewies Levi ben Gerson (1288-1344; auch unter dem Namen Gersonides bekannt): Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.
Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen m und n an: m < 7,15 * 1011, n < 7,78 * 1016.
|
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste"). Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz. |