Lösungsweg für kubische Gleichung
Kubische Gleichung: a*x*x*x + b*x*x + c*x + d = 0
Durch Substitution von
p = (c/a) - (b*b/3*a*a)
q = (d/a) + (2*b*b*b/27*a*a*a) - (b*c/3*a*a)
in die Form
x*x*x + p*x + q = 0
bringen
Lösung
Fall 1: q*q/4 + p*p*p/27>0
Eine reelle Lösung:
x = Kubikwurzel(-q/2 + Quadratwurzel(q*q/4 + p*p*p/27)) + Kubikwurzel(-q/2 - Quadratwurzel(q*q/4 + p*p*p/27)) - b/3*a
Fall 2: q*q/4 + p*p*p/27 = 0
Zwei reelle Lösungen:
x1 = Kubikwurzel(q/2) - (b/3*a)
x2 = - Kubikwurzel(4*q) - b/3*a
Fall 3: q*q/4 + p*p*p/27 < 0 (Casus irreducibilis)
Drei reelle Lösungen:
x1 = 2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p))) - b/3*a
x2 = -2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p)) + pi/3) - b/3*a
x3 = -2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p)) - pi/3) - b/3*a
Lösungsweg für biquadratische Gleichung
a*x*x*x*x + b*x*x*x + c*x*x + d*x + e = 0
p = ((3*b*d - c*c)/(12*a*a)) - e/a
q = ((8*c*e - 3*d*d)/24*a*a) - ((27*b*b*e - 9*b*c*d + 2*c*c*c)/216*a*a*a)
z ist eine beliebige Lösung der Gleichung.
z*z*z + p*z + q = 0
y = z + c/6*a
Fall 1: (b/a)*y - d/a>0
- x1 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x2 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x3 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x4 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
Fall 2: (b/a)*y - d/a < 0
- x1 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x2 = -b/4*a - 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) + (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) + Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x3 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) + Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))
- x4 = -b/4*a + 0.5 * Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - c/a) - Quadratwurzel(((b*b)/(8*a*a)) - 0.5*y - (c/(4*a)) - (b/(4*a))*Quadratwurzel(2*y + ((b*b)/(4*a*a)) - (c/a)) - Quadratwurzel(y*y - (e/a)))