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Cantor-Menge

Unter einer Cantor-Menge, auch Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man eine Menge, die überabzählbar unendlich viele Elemente enthält, gleichzeitig aber ein Maß von Null (im Sinne des Riemannschen Integrals) besitzt. Derartige Konstrukte sind in Mengen mit überabzählbar vielen Elementen kostruierbar.

Dieser Mengentyp ist nach dem deutschen Mathematiker Georg Cantor benannt.

Die Cantor-Menge diente oft als Gegenbeispiel für mengentheoretische Vermutungen.

Cantor-Mengen sind Beispiele für Fraktale.

Konstruktionsbeispiel

Ein einfaches Beispiel für eine Cantor-Menge lässt sich mittels folgender Iteration konstruieren:

Man beginnt mit dem Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das mittlere Drittel entfernt (weggewischt).

Im Folgenden wird aus allen vorhandenen Intervallen jeweils das mittlere Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.

Nach n Iterationen existieren 2n Intervalle, die insgesamt (2/3)n des ursprünglischen Intervalls abdecken. Je mehr Intervalle diese Menge enthält, desto geringer ist der Anteil am ursprünglichen Intervall.

Im Grenzwert eines unendlichen n ist der Anteil am ursprünglichen Intervall Null, obwohl unendlich viele Intervalle (und somit Elemente) vorliegen.

Die Haussdorff-Dimension dieses Beispiels beträgt D = log(2) / log(3) = 0,6309.....

Dieses Konstruktionsverfahren ist verwandt mit dem für die kochsche Kurve.


Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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