Binomialkoeffizient
In der Mathematik sind Binomialkoeffizienten bestimmte reelle Zahlen, die in vielen Bereichen auftreten, z.B. in der Kombinatorik und der Analysis.
Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei Zahlen ab; wenn diese p und q sind, dann schreibt man den Binomialkoeffizienten "p über q" als
Definition
Die einfachste Definition gilt für den Fall, dass p und q ganze Zahlen sind, wobei p ≥ 0 ist. In diesem Fall definiert man
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Dabei ist p! die Fakultät von p, p! = p·(p-1)·...·2·1.
Eine Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn p eine beliebige reelle Zahl und q eine nichtnegative ganze Zahl ist. In diesem Fall ist
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der Binomialkoeffizient "p über q". Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige p und q mit der ersten überein.
Die Betafunktion B(x,y) erlaubt eine Erweiterung der Definition auf reelle q, aber nur für q>-1 und p-q>-1:
Beispiele
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Berechnung
Für den Binomialkoeffizienten nichtnegativer ganzer Zahlen n und k hat man folgende rekursive Darstellung:
Beispiel:
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- = 2 + 2*(1 + 1) = 2 + 4 = 6
Sie eignet sich zum Beispiel, um alle Binomialkoeffizienten für ein vorgegebenes k zu bestimmen, ein Schema dazu ist das Pascalsche Dreieck.
Ein wissenschaftlicher Taschenrechner erspart in der Praxis durch die Funktionstaste "nCr" (n choose r) viel Tipparbeit:
- Eingabe p-Wert, Taste "nCr", Eingabe q-Wert, Taste "=".
Binomische Reihe
Der Name "Binomialkoeffizient" ist abgeleitet vom Auftreten in der binomischen Reihe
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Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab, d.h. alle weiteren Glieder sind 0. Für nicht ganzzahliges α liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt 0.
Beispiele
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- (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
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Anwendung in der Kombinatorik
Eine Anwendung des Binomialkoeffizienten in der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit
p Elementen q Elemente auszuwählen, ohne auf die Reihenfolge bei der Auswahl zu achten.
Damit lässt sich z.B. die Anzahl der Möglichkeiten, beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) zu ziehen, berechnen:
Siehe auch
- jonelo.de/java/bigal_de.html
Kleines,www.jonelo.de/java/bigal_de.html
Kleines,
freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur genauen Berechnung des Binomialkoeffizienten (mit Java-Quelltext)
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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