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Bijektivität

Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Eine bijektive Funktion bildet verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs ab, und jedes Element des Wertebereichs tritt als Bild auf. Eine bijektive Funktion hat eine Umkehrfunktion.

Die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge, Bildmenge und der Wertemenge einer bijektiven Funktion sind gleich groß (mit Hilfe von Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert).

Inhalt
1 Definition
2 Beispiele und Gegenbeispiele
3 Vergleich

Definition

Sei eine Funktion von nach .

ist bijektiv, wenn für alle genau ein mit existiert.

(genau eins bedeutet eins und nur eins)

alternativ:

ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform

Mengenkastendarstellung.	Mengenkastendarstellung.
Mengenwolkendarstellung.

Beispiele und Gegenbeispiele

Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv, ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.

Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche Mengen können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst, die nicht injektiv sind. Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben.

Ein konkretes Beispiel (die Abbildung mit verschiedenen Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität.

Vergleich

Injektivität, Surjektivität

Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.