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Bayes-Theorem

Das Bayes-Theorem (oder auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes. Es gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet und lautet:

Hierbei ist die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis und die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis unter der Bedingung, dass auftritt. Die Korrektheit des Satzes folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit: Falls ein totales Ereignissystem ist, mit echter Teilmenge , gilt:
Inhalt
1 Interpretation
2 Anwendungsgebiete
3 Rechenbeispiel
4 Verständnisprobleme des Bayes-Theorems
5

Interpretation

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Die Berechnung von ist häufig einfach, aber oft ist eigentlich gesucht, also ein Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können der Entscheidungsbaum und die A-Priori-Wahrscheinlichkeit helfen.

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel

In einem medizinischen Beispiel sei das Ereignis , dass ein Patient eine schwere seltene () Krankheit hat (Grundanteil). 
bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist. Der Hersteller des Tests versichert, dass der Test eine Krankheit zu 99% erkennt () und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt (). Die Frage ist: Gegeben ein positiv getesteter Patient, wie wahrscheinlich ist er an der seltenen Krankheit erkrankt?
Die Aufgabe kann entweder gelöst werden

Lösung mit dem Satz von Bayes

Nach dem Satz von oben finden wir

d.h. der Patient hat eine Chance von gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte.

Lösung mit dem Entscheidungsbaum

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben werden einfach eingesetzt. Das Diagramm "rechnet mit".

 10 000
 / \\
 / \\ 
 / \\ 
 2(krank) 9 998 (gesund)
 /\\ /\\
 / \\ / \\
 / \\ / \\
 / \\ / \\
Test- 0 2 100 9898
ergebnis - + + -
(gerundet)
Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 (=falsch positiv) von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.

Verständnisprobleme des Bayes-Theorems

Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind, können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständnisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/art1.html :
  1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
  2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
  3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
  4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem")
  5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u.ä.


Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.