Auswahlaxiom
Das Auswahlaxiom ist das jüngste Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo formuliert. Es lautet:
- Ist eine Menge von nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Funktion mit Definitionsbereich , genannt Auswahlfunktion, so dass gilt:
- .
- wählt also aus jeder Menge in genau ein Element aus.
Es gibt etliche dazu äquivalente Formulierungen, unter anderem das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz.
Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht möglich, für eine allgemeine Menge von Teilmengen von eine Auswahlfunktion explizit anzugeben.
Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:
- Für eine endliche Menge von Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist.
- Für Mengen von Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus.
- Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.
- Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie anzugeben.
Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch das Gegenteil des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also grundsätzlich akzeptabel.
Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweige der Mathematik, darunter auch neuere wie die Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehenden, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon. Letztlich steht in der Mathematik nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist.
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
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