Algebra

Inhalt

1 Wortgeschichte 2 Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung 3 Algebra als mathematische Struktur 4 "Algebraisch" als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen 5 "Algebraische" Teilgebiete der Mathematik

Wortgeschichte

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

• Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
• Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
• Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumenn und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
• Die multilineare Algebra handelt von Tensoren.
• Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppenn, Ringe, Körper und deren Verknüpfung.
• Die universelle Algebra verallgemeinert die Begriffsbildungen der abstrakten Algebra. Sie geht dabei einen anderen, aber eben so weitreichenden Weg wie die Kategorientheorie.

Algebra als mathematische Struktur

Einige spezielle algebraische Strukturen haben einen Namen, der das Wort "Algebra" explizit enthält:

• Eine Mengenalgebra, manchmal auch nur Algebra genannt, ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π(X), mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen und der axiomatischen Forderung X∈A.
  • Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra, die abgeschlossen auch bezüglich einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. σ-Algebren bilden eine Grundlage der Maßtheorie.
• Ein Vektorraum zusammen mit einer "Vektormultiplikation" wird ebenfalls als Algebra bezeichnet; siehe dazu Algebra (Vektorraum). Spezielle Arten solche Algebren sind:
  • assoziative Algebra
  • Lie-Algebra
  • Banach-Algebra
  • Divisionsalgebra
• Boolesche Algebra

• Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zum Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
• Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
• Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper.

• Kommutative Algebra
• Algebraische Topologie
• Algebraische Geometrie
• Algebraische Zahlentheorie

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